Capítulo 7 Probabilidad: los fundamentos
Para hacer inferencias se requiere de la probabilidad porque se trabaja con situaciones inciertas, que no se conocen y que son difíciles de prever. Por eso se comienza aquí haciendo la distinción entre las preguntas que pueden responderse con certeza y las que no. De las primeras, son ejemplos: ¿cuándo será el próximo eclipse de sol? ¿A qué temperatura se funde el hierro? ¿Cuáles son las condiciones óptimas para el desarrollo de determinado vegetal? Sobre estas preguntas tenemos, o bien una teoría que explica de manera muy completa los procesos, o bien una gran cantidad de observaciones sistematizadas, que nos permiten dar una respuesta certera.
Por el contrario, si preguntamos ¿cuál es el efecto sobre la personalidad, de haber tenido figuras parentales autoritarias en la niñez? ¿Qué determina que las trayectorias escolares sean disímiles entre estudiantes? ¿Cómo afecta la estabilidad económica a la intención de voto?, solo podemos ofrecer respuestas parciales, tentativas, aproximadas. Se trata de hechos que dependen de muchos factores a los que no conocemos en su totalidad, por lo que el resultado es variable: algunas personas criadas en ambientes autoritarios desarrollan una personalidad autoritaria, otras no. En algunos casos, las trayectorias escolares exitosas se correlacionan con familias con estudios elevados, pero no siempre es así. La estabilidad económica que favorecería una reelección, puede estar acompañada de mucha pobreza, o de corrupción; también eventos inesperados antes de las elecciones pueden cambiar decisiones a último momento. Hay razones más allá de nuestro alcance que inciden en la personalidad o en el resultado de la escuela, o la intención de voto. En estas situaciones, cuando no tenemos toda la información que hace falta para predecir el resultado, recurriremos a la probabilidad.
Ingresaremos al tema desde situaciones muy sencillas, desde el muy usado ejemplo de arrojar una moneda. Pero detengámonos un momento en él: si tuviéramos toda la información necesaria para predecir la trayectoria de la moneda en el aire (distancia desde donde se arroja, fuerza que se le aplica, el lugar de la moneda donde se aplica esa fuerza, eventuales corrientes de aire que puedan incidir en el desplazamiento de la moneda, etc.), podríamos predecir con certeza el resultado. Esa información no está disponible, el lado del que caiga la moneda está determinado por una multiplicidad de factores, por esa razón no podemos anticipar el resultado de la tirada. A esa ignorancia la resumimos diciendo que el resultado de la tirada de la moneda “depende del azar” y llamamos al experimento de tirar una moneda “experimento aleatorio”.
Es un paso muy largo ir desde este ejemplo a decir que el modo en que se desarrolle la personalidad de alguien que se crió en una familia autoritaria depende del azar o que la distribución de votos en las próximas elecciones depende del azar. Sabemos que esos resultados no dependen del azar, dependen de muchos factores que ignoramos, por eso usaremos probabilidades en las disciplinas que tratan con personas humanas, por la imposibilidad de predecir con certeza los resultados. Podremos decir que alguien que vive en una familia que valora la educación tiene una probabilidad mayor de tener éxito en la escuela, pero no podremos asegurar que lo tendrá. Es razonable creer que si un gobierno logró estabilidad económica, tendrá más posibilidades de ser reelegido, pero no hay certeza sobre que lo será. Los tratamientos de salud más exitosos encuentran casos en los que no logran resultados, por lo que su efectividad no puede garantizarse completamente, hay una componente impredecible en la evolución de la patología.
La probabilidad trata con la incertidumbre, con lo que hay entre la certeza en que algo ocurrirá y la certeza en que no ocurrirá.
Los eventos que no son azarosos no tienen que ver con probabilidades: no asignamos probabilidad a un eclipse porque hay conocimiento suficiente como para saber cuándo ocurrirá; pero sí se asigna probabilidad a una tormenta, porque no se conocen simultáneamente todos los factores que la determinan. Se asignan probabilidades a hechos de cuya ocurrencia no se tiene certeza. Con la probabilidad se cuantifica (se le asigna un número) a la expectativa sobre el fenómeno. Intuitivamente, cuando decimos que algo tiene “mucha probabilidad de suceder” es porque hay bastante seguridad que sucederá. Esta es la posición conocida como “azar epistemológico”, que considera azarosos o aleatorios a los eventos cuya ocurrencia no puede anticiparse con certeza. Desde esta posición, que un evento sea azaroso o no, depende el conocimiento que se tenga sobre sus determinantes del.
La cuantificación de la probabilidad implica que ésta se expresa con un número; un número que está comprendido entre cero y uno. Que un evento tenga probabilidad cero significa que es imposible que suceda. Si un evento tiene probabilidad igual a uno, es porque hay certeza en que sucederá. El primero se llama evento imposible, el segundo, evento seguro
7.1 Formas para asignar probabilidades
7.1.1 Asignación a priori
Podemos partir de esa idea intuitiva de probabilidad, ligada a procesos cuya ocurrencia no nos es conocida con certeza. Para evocar esta idea, el ejemplo que más a menudo se cita es el del lanzamiento de una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener “cara” al arrojar una moneda? Si la respuesta es \(1/2\) (ó \(0.50\) ó \(50\) y \(50\)), debe tenerse en cuenta que eso solo será cierto si la moneda está equilibrada, es decir si tiene iguales chances de salir de un lado que del otro. Si esto es cierto, efectivamente la probabilidad de obtener cara es \(1/2\) (ó \(0.50\)). Con idéntica condición, la probabilidad de obtener un 5 al arrojar un dado es \(1/6\) (ó \(0.17\)). Esta asignación de probabilidad a los resultados de un experimento es previa a su realización, no es necesario tirar realmente la moneda: es suficiente con que tengamos razones para suponer que está equilibrada, para poder afirmar que la probabilidad de cara es \(1/2\). Diremos en este caso que asignamos la probabilidad a priori, es decir, antes de hacer el experimento.
De mismo modo sucede si el evento que nos interesa en un poco más complejo. Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor a cuatro si se tira un dado? Debido a que hay dos números mayores a cuatro (el 5 y el 6), el evento tiene dos casos a su favor y hay seis resultados posibles, por lo que la probabilidad será: \(2/6\) (ó \(1/3\), si se simplifica la fracción).
La expresión formal de esta asignación de probabilidades es.
\[P(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}\]
En la que \(\#A\) (que se lee “numeral de A”) indica el número de maneras en que puede suceder el evento A, y \(\#\Omega\) (numeral de omega) es el número total de resultados que se pueden obtener al realizar el experimento. \(\Omega\) es el conjunto de resultados posibles, es llamado espacio muestral. En el caso del ejemplo, el experimento es el de tirar el dado y buscar un número mayor que cuatro, \(\#A\) es 2 porque son las formas en que puede obtenerse un número mayor que cuatro, y \(\#\Omega\) es 6, que es el número total de resultados posibles al tirar un dado.
Con este mismo razonamiento, la probabilidad de obtener un número par es \(3/6\) (\(1/2\) después de simplificar), porque hay tres números pares (2, 4 y 6) en un dado.
Vamos a un caso más complejo: tiremos ahora dos dados y tomemos en cuenta la suma de los dos puntajes, a esa suma la llamaremos \(S\). El mínimo número que puede resultar es dos (que ambos dados salgan uno) y el máximo es doce (ambos seis), entonces hay once resultados posibles de esta variable (que son: \(S = 2\), \(S = 3\), \(S = 4\), \(S = 5\), \(S = 6\), \(S = 7\), \(S = 8\), \(S = 9\), \(S = 10\), \(S = 11\) y \(S = 12\)), algunos de los cuales pueden suceder de varias formas. Estos resultados posibles y sus formas de obtención se ven de manera esquemática en la tabla 7.1.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Segundo dado | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Segundo dado | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Segundo dado | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Segundo dado | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Segundo dado | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| Segundo dado | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Si bien los resultados posibles son 11, las formas en que estos pueden darse son 36; cada una de esas formas es un evento. El evento primer dado 5 y segundo dado 2 es diferente del evento primer dado 2 y segundo dado 5, aunque ambos conducen al mismo resultado de la suma: \(S=7\). Más precisamente, si indicamos los eventos con pares ordenados, los eventos \((1,6)\); \((6,1)\); \((2,5)\); \((5,2)\); \((3,4)\); \((4,3)\) son diferentes pero todos corresponden a \(S=7\).
Son entonces 36 los resultados posibles del experimento, por lo que \(\#\Omega\) = 36. Ahora podemos calcular probabilidades para diferentes resultados.
¿Cuál es la probabilidad que la suma sea 12?, lo que puede expresarse como: ¿cuál es \(P(S=12)\)? Como esta suma solo puede lograrse si ambos dados salen 6, hay una sola manera en que se produzca el evento que nos interesa (suma doce), el resultado \(S=12\) proviene del evento \(A={(6,\:6)}\) por lo que el \(\#A\) es 1 y la probabilidad es entonces \(1/36\).
\[\#\Omega=36, \: \#A = 1, \: P(S = 12)=1/36\]
En cambio, si la pregunta es por la probabilidad de obtener un tres, hay más de una manera de llegar a ese resultado (que \(S = 3\)). La suma 3 puede resultar de \(2+1\) ó de \(1+2\), es decir que, o bien el primer dado sale 2 y el segundo 1 ó bien el primero sale 1 y el segundo 2. El resultado \(S=3\) proviene del evento \(B={(1,\:2), \:(2,\:1)}\). Hay así dos formas posibles para el evento \(S = 3\), y \(\#B\) es 2, por lo que la probabilidad es \(P(S = 3) = 2/36\).
\[\#B = 2, \:P(S = 3)=2/36\]
Otro ejemplo, sea \(P(S=7)\). La suma de siete puede obtenerse de muchas formas: \(1+6\), \(2+5\), \(3+4\), \(4+3\), \(5+2\) ó \(6+1\). Al resultado \(S=7\) le es favorable en conjunto de eventos \(C={(1,\:6), \:(2,\:5),\:(3,\:4), \:(4,\:3),(5,\:2), \:(6,\:1)}\). Hay seis combinaciones que conducen a \(S=7\), en consecuencia, la probabilidad es \(6/36\).
\[\#C = 6, \: P(S = 7)=6/36\]
7.1.2 Asignación a posteriori
Consideremos ahora una situación más cercana a la experiencia: supongamos que de un curso se selecciona una persona al azar ¿Cuál es la probabilidad que sea mujer? Aquí el supuesto de equilibrio no es válido a priori, en gran medida depende de la carrera de que se trata, las hay con muchas mujeres y con pocas. Por lo tanto no podemos suponer que es igualmente probable que resulte un varón o una mujer y no podemos asignar probabilidad \(1/2\) a cada resultado. Aunque el experimento tenga dos resultados posibles, éstos no son igualmente probables.
En otro ejemplo, si a la persona aleatoriamente seleccionada (por ejemplo, quien ocupa el lugar 98 en la lista de asistentes a un curso) se le pregunta por el tipo de colegio del que egresó, con los resultados posibles: “público”, “privado laico”, “privado religioso”, el resultado que se obtenga también depende del azar, porque así fue elegida la persona, la respuesta será una u otra según cuál sea la persona elegida y esto depende del azar. Sin embargo, no podemos asignar una probabilidad igual a cada resultado, no es lícito decir que sea \(1/3\), ya que puede haber más estudiantes que provengan de colegios públicos que de privados y, en consecuencia, que sea más probable encontrar quienes provengan de esos colegios que de los otros. En este caso no podemos asignar de antemano probabilidades a los diferentes resultados, porque no tenemos suficientes razones para suponer la forma en que se distribuyen las probabilidades. Si supiéramos que hay el doble de provenientes de colegios públicos que de otro tipo, podríamos decir que la persona elegida al azar tiene el doble de probabilidad de provenir de un colegio público que de otro tipo.
Encontramos así una relación entre la frecuencia y la probabilidad: si conocemos la distribución de frecuencias, tenemos razones para usarlas para asignar probabilidades a los resultados del experimento. Así, si una muestra de asistentes a un curso tiene una distribución de frecuencias del tipo de colegio del que proviene como la de la 7.2.
| f | f’ | |
|---|---|---|
| Público | 200 | 0.66 |
| Privado laico | 20 | 0.07 |
| Privado religioso | 80 | 0.27 |
| Total | 300 | 1.00 |
| Fuente: datos ficticios para ejemplificación. |
Estamos autorizados a decir que la probabilidad que la persona elegida al azar provenga de un colegio público es \(0.67\), que es su frecuencia relativa. Esto será válido en la medida que el número de casos sea elevado; no es posible transformar una frecuencia relativa en probabilidad si tenemos muy pocas observaciones. Más adelante volveremos sobre esta condición.
Cuando atribuimos probabilidades de este modo se trata de probabilidades a posteriori, es decir con posterioridad a haber hecho la experiencia, luego de la observación de los resultados reales obtenidos. También se llama a estas probabilidades empíricas, para destacar que provienen de la experiencia.
¿Cuál es el significado del 1.00 que corresponde al total? Sin dudas, como frecuencia significa el 100% de los casos, pero como probabilidad indica que el conjunto completo de alternativas (público, privado laico, privado religioso) tiene probabilidad 1.00; o bien que es un evento seguro. La expresión coloquial para este valor es que cuando se selecciona una persona al azar, ésta debe provenir de alguno de los tres tipos de colegio indicados, entonces el valor uno responde a la pregunta “¿cuál es la probabilidad de encontrar una persona (que haya cursado el secundario) que provenga de un colegio que sea público, privado laico o privado religioso?”, la respuesta es que es seguro que de alguno de esos tipos de colegio provendrá, porque no hay otras alternativas, es decir que las categorías son exhaustivas, como debe ser en toda categorización. En este caso,
\[\mathrm{\Omega} = \{ publico,\ privado\ laico,\ privado\ religioso\}\]
Como vimos más arriba, el evento seguro es el que tiene probabilidad \(1\), por lo que la expresión formal de este enunciado es:
\(P(\Omega) = 1\)
Donde \(\Omega\) indica el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, o el conjunto de todas las categorías de un variable, al que hemos llamado espacio muestral.
7.1.3 La relación entre asignación a priori y a posteriori
Volvamos al experimento simple de arrojar la moneda: si ésta se encuentra equilibrada será entonces correcto asignar probabilidad \(1/2\) (ó \(0.50\)) a cada lado, lo que indica que esperamos que a la larga la moneda caiga la mitad de las veces cara y la mitad cruz. Destaquemos la expresión “a la larga”, que quiere decir “si se arroja muchas veces”. Hagamos el experimento realmente, busque usted una moneda y arrójela, digamos 10 veces. Yo lo hice y obtuve la siguiente secuencia de resultados: CXXXCCCXXC.
Elijamos nuestro lado favorito, que sea “cara” (\(C\)) y calculemos la frecuencia relativa de ese lado en cada tirada, presentamos los resultados resumidamente en la tabla 7.3. Cuando solo se tiró una vez y como el primer resultado fue \(C\), la frecuencia es \(1\) (una cara de un total de un resultado). A la segunda tirada, que es \(X\), se obtiene \(1/2\) (una cara de dos tiradas). A la tercera, que otra vez sale \(X\), la frecuencia de cara es \(1/3\) (una cara de tres tiradas) y así sigue.
| Tirada | Cantidad de tiradas | Resultado | Caras acumuladas | Frecuencia relativa “caras” |
|---|---|---|---|---|
| Primera | 1 | C | 1 | 1/1 = 1.00 |
| Segunda | 2 | X | 1 | 1/2 = 0.50 |
| Tercera | 3 | X | 1 | 1/3 = 0.33 |
| Cuarta | 4 | X | 1 | 1/4 = 0.25 |
| Quinta | 5 | C | 2 | 2/5 = 0.40 |
| Sexta | 6 | C | 3 | 3/6 = 0.50 |
| Séptima | 7 | C | 4 | 4/7 = 0.57 |
| Octava | 8 | X | 4 | 4/8 = 0.50 |
| Novena | 9 | X | 4 | 4/9 = 0.44 |
| Décima | 10 | C | 5 | 5/10 = 0.50 |
En la distribución vemos que la frecuencia relativa de \(C\) toma valores alrededor de \(0.50\); al principio más lejos y luego “se va acercando” a ese número cuando hemos hecho más tiradas. La representación gráfica de este proceso es la figura 7.1, a la que se agregó una línea que muestra el valor \(0.50\) que es el que habíamos calculado antes de hacer el experimento.
Figura 7.1: Convergencia de la probabilidad empírica a la teórica para una moneda equilibrada. 10 tiradas
Se aprecia que la sucesión de frecuencias relativas es tal que éstas se van acercando a la probabilidad predicha.
Si la moneda se hubiese tirado una cantidad mayor de veces (cien veces, por ejemplo), el gráfico tendría una forma como la figura 7.2.
Figura 7.2: Convergencia de la probabilidad empírica a la teórica para una moneda equilibrada. 100 tiradas
Resulta entonces que, si se cumple que la moneda está equilibrada, entonces las frecuencias relativas de un resultado se irán acercando a la probabilidad asignada. Dicho de otra manera, la probabilidad a posteriori converge a la probabilidad a priori. Mucha atención a esto: solo en el caso que el supuesto inicial se cumpla, es decir que la moneda se comporte como esperamos (cayendo parejo de un lado y del otro), que nuestra idealización de idénticas chances a cada lado, se refleje en la moneda observada.
Si por el contrario, la moneda estuviese desequilibrada -y que fuera más frecuente el lado \(X\) que el lado \(C\)-, podríamos obtener, en \(500\) tiradas, por ejemplo, \(350\) veces \(X\) y la probabilidad a posteriori será entonces \(P(C) = 350/500 = 0.70\) y no \(0.50\) como sería si estuviera equilibrada. En ese caso el supuesto inicial de moneda equilibrada es falso, decimos que “el modelo no se sostiene”, luego veremos con más detalle el significado de esta expresión.
7.2 Operando con probabilidades
Cualquiera sea el modo a través del que se hayan asignado probabilidades a eventos, las probabilidades cumplen con ciertas propiedades generales, que trataremos a continuación y que permiten hacer operaciones con ellas.
En primer lugar, y con carácter de axiomas, las siguientes características son condición para que un número \(P(A)\) pueda ser considerado una probabilidad:
La probabilidad es un número comprendido entre cero y uno: \[0 \leq P(A) \leq 1\]
La probabilidad del conjunto completo de resultados posibles (del espacio muestral) es uno: \(P(\Omega) = 1\)
La probabilidad de la unión de dos eventos que se excluyen mutuamente es la suma de las probabilidades de cada uno de ellos: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
La definición frecuencial (a posteriori), así como todos los modelos de asignación de probabilidad a priori que mencionamos cumplen con estas condiciones.
7.2.1 Con probabilidades frecuenciales
Sea una distribución conjunta de dos variables con asignación de probabilidades frecuenciales, es decir empíricas. Se trata de la relación entre la ciudad donde se vive y la intención de voto. Las categorías de la ciudad son: Córdoba, Rosario y Mendoza. Los partidos políticos son cuatro y los llamaremos Q, R, S y T. Supongamos que las de la tabla 7.4 son las frecuencias observadas luego de recoger los datos.
| Q | R | S | T | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Córdoba | 200 | 300 | 100 | 50 | 650 |
| Rosario | 100 | 150 | 60 | 70 | 380 |
| Mendoza | 50 | 150 | 100 | 200 | 500 |
| Total | 350 | 600 | 260 | 320 | 1530 |
Calculemos algunas probabilidades a partir de las frecuencias relativas.
7.2.1.1 Probabilidades marginales
Cuando se consideran las categorías de una variable sin tener en cuenta
a la otra, usamos las frecuencias de los márgenes de la tabla, esas son
las llamadas frecuencias marginales. La frecuencia marginal de “vivir en Córdoba” es \(650/1530\). En este enfoque frecuencial, la probabilidad que una persona
elegida al azar viva en Córdoba (sin importar a qué partido piense
votar) es \(650/1530\). De manera equivalente, la probabilidad de encontrar
por azar a alguien que piense votar al partido \(S\) (cualquiera sea su
ciudad) es \(260/1530\). Las escribimos simplemente \(P(Cordoba)\) y \(P(S)\)
respectivamente. \(P(Cordoba)\) usa el total de la primera fila y el total general de la tabla 7.4, mientras que \(P(S)\) pone en relación la tercera columna de 7.4 y el total general.
\[P(S)=\frac{260}{1530}\]
\[P(Cordoba)=\frac{650}{1530}\]
7.2.1.2 Probabilidades conjuntas o de la intersección de eventos
Las usamos para hallar la probabilidad de ocurrencia simultánea de una categoría de cada variable. Por ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de encontrar por azar a alguien que viva en Rosario y que piense votar al partido R? La cantidad de individuos que cumplen simultáneamente las dos condiciones es de 150, por lo que la probabilidad se calcula como \(150/1530\). Hemos destacado la conjunción “y”, junto al “simultáneamente” porque en este caso se piden dos condiciones juntas. Por eso estas son llamadas probabilidades conjuntas.
En teoría de conjuntos, corresponden a la intersección de dos conjuntos, que se indica con el signo \(\cap\), por lo que el evento “vivir en Rosario” y al mismo tiempo “decir que se va a votar a R”, se escribe “\(Rosario \cap R\)”.
Esa intersección es el cruce de la segunda fila y la segunda columna de la tabla 7.4 y la probabilidad es el número de casos en la celda del cruce dividido el total general.
\[P(Rosario \cap R)=\frac{150}{1530}\] ¿Qué sucede si aplicamos esta operación a dos eventos que corresponden a dos categorías de la misma variable?, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de encontrar a alguien que diga que votará a Q y a R? Esos eventos no pueden suceder juntos porque son incompatibles: solo uno de los dos puede suceder. La intersección entre ellos es imposible, por lo que la probabilidad es cero. Es el mismo caso de buscar a alguien que viva en Córdoba y también en Mendoza, es claro que no hay intersección entre estos conjuntos; dicho de otra forma, la intersección es el conjunto vacío. A estos eventos que no pueden suceder simultáneamente, los llamaremos mutuamente excluyentes. Como recordamos, esa es la condición que deben cumplir las categorías de cualquier variable.
Si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces, su probabilidad conjunta es cero. En lenguaje de conjuntos:
\[si\ A \cap B = \varnothing\ entonces\ P(A \cap B) = 0\]
7.2.1.3 Probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes
Estas probabilidades sirven para analizar la ocurrencia de uno u otro de dos eventos, cuando éstos no pueden suceder simultáneamente. Por ejemplo: ¿qué probabilidad hay de encontrar a alguien que piense votar a Q o a R? Esto quiere decir “una cosa o la otra”, se trata de una disyunción, es decir, la unión de los dos eventos. En el lenguaje de la teoría de conjuntos la unión de dos conjuntos se indica con el símbolo \(\cup\); por lo que decir “A o B” equivale a decir “\(A\cup B\)”.
El total de quienes cumplen con la condición de votar a Q o a R (sin tener en cuenta la ciudad) es de \(950 (350 + 600)\), por lo que la probabilidad es de \(950/1530\). Se trata de la suma de los totales de las dos primeras columnas de la tabla 7.4 dividido el total general.
De modo equivalente, la probabilidad de seleccionar al azar a alguien que viva en Córdoba o en Rosario es de \(1030/1530\), donde hemos sumado las dos primeras filas de la tabla 7.4, correspondientes a las categorías Córdoba y Rosario.
En estas probabilidades, admitimos que se cumpla cualquiera de las dos condiciones (Q o R en el primer caso, Córdoba o Rosario en el segundo). En los dos ejemplos se trata de eventos que no pueden suceder simultáneamente, por ser categorías de una de las variables, son mutuamente excluyentes, por lo que la probabilidad de su ocurrencia conjunta es cero. En estos casos, la probabilidad de la unión es simplemente la suma de las probabilidades de los dos eventos: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Aplicada a los ejemplos:
\[P(Q \cup R) = P(Q) + P(R)=\frac{350}{1530}+\frac{600}{1530}=\frac{350+600}{1530}\]
\[P(Cordoba \cup Rosario) = P(Cordoba) + P(Rosario)=\frac{650}{1530}+\frac{380}{1530}=\frac{650+380}{1530}\]
7.2.1.4 Probabilidad de la unión de eventos no mutuamente excluyentes
Vamos ahora a incluir en la operación de unión de eventos, aquellos que no se excluyan mutuamente. Para el ejemplo con el que venimos trabajando, cambiamos las condiciones de esta unión de eventos: Ahora preguntamos: ¿Cuál es la probabilidad de hallar por azar a alguien que viva en Córdoba o que piense votar al partido T? Otra vez es una disyunción, por lo que admitimos cualquiera de los dos eventos: que viva en Córdoba (sin importar a quién piense votar) o que piense votar a T (cualquiera sea su ciudad). Si intentamos el mismo procedimiento que en el caso anterior, deberíamos sumar las probabilidades: \(650/1530 + 320/1530\), con solo observar la tabla 7.4, vemos que los \(50\) individuos que cumplen las dos condiciones (viven en Córdoba y votarán a T), han sido contados dos veces: en los \(650\) del marginal de la fila Córdoba y en los 320 del marginal de la columna T; por lo que deben descontarse una vez del resultado haciendo \(650/1530 + 320/1530 - 50/1530\).
¿Por qué sucedió esto?, porque los eventos cuya unión estamos considerando pueden ocurrir simultáneamente, tienen intersección y es esa intersección justamente la que aparece en el cálculo de las dos probabilidades que se suman. Esta última expresión tiene forma:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
Y es la expresión más general para el cálculo de la probabilidad de la unión de conjuntos. Esta fórmula toma la forma simplificada que usamos antes \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) solo cuando A y B son disjuntos, es decir cuando se excluyen mutuamente como lo indica el tercer axioma.
Aplicada al ejemplo, el cálculo es:
\[P(Cordoba \cup T) = P(Cordoba) + P(T) - P(Cordoba \cap T) =\] \[\frac{650}{1530} + \frac{320}{1530} - \frac{50}{1350} = \frac{920}{1530} = 0.60\]
7.2.1.5 Probabilidad condicional
Este es el caso en que necesitamos calcular una probabilidad bajo una condición, que restringe el conjunto de resultado posibles. Se aplica cuando se cuenta con información adicional antes de calcular una probabilidad, por ejemplo que se sepa que la persona seleccionada al azar vive en Córdoba. ¿Cuál es la probabilidad que piense votar al partido S? El planteo es tal que preguntamos cuál es la probabilidad de votar a S si se sabe que vive en Córdoba. Vivir en Córdoba es la condición y se escribe: \(S/Cordoba\), y lo leemos “S, dado que vive en Córdoba”.
En este caso, el dato “vive en Córdoba” es una restricción sobre el conjunto total, ya no debemos tener en cuenta a las \(1530\) personas del total, sino solo a quienes cumplen con la condición de vivir en Córdoba. Entonces ahora, el nuevo total es de solo \(650\) personas, quienes viven en Córdoba. De este grupo, \(100\) piensan votar a S, por lo que la probabilidad que nos interesa es \(100/650\). \[P(S/Cordoba) = \frac{100}{650} = 0.15\] En la tabla 7.4 el universo queda restringido, luego de la condición. En lugar de los \(1530\) casos, el total que cumple con “vive en Córdoba” es \(650\). Solo interesa la primera fila de la tabla.
Razonando del mismo modo, si se sabe que la persona elegida piensa votar a R, el total queda restringido a \(600\) casos (los que cumplen con esa condición). Si nos interesa la probabilidad que viva en Mendoza, bajo esa restricción resulta: \(150/600\).
Entonces: \(P(Mendoza/R) = \frac{150}{600} = 0.25\)
En la tabla 7.4 la restricción que aparece es sobre las columnas. En lugar de los \(1530\) casos, el total que cumple con “vota a R” es \(600\). Solo interesa la segunda columna de la tabla.
En estos dos últimos ejemplos, el cambio respecto de todos los anteriores es que el denominador de las probabilidades ya no es \(1530\) sino un número menor, que resulta de haber impuesto previamente una condición: que viva en Córdoba en el primer caso y que haya votado a R en el segundo. Como se ve, estas probabilidades condicionales no son conmutativas:
Se selecciona una persona al azar entre quienes votarán a R, ¿Cuál es la probabilidad que viva en Mendoza? Se escribe \(P(Mendoza/R)\) y vale \(150/600\).
Se selecciona una persona al azar entre los que viven en Mendoza, ¿Cuál es la probabilidad que vaya a votar a R? Se escribe \(P(R/Mendoza)\) y vale \(150/500\).
7.2.1.6 Relación entre probabilidades condicionales y conjuntas
Compararemos ahora la probabilidad de hallar alguien que vaya a votar a Q y que viva en Córdoba (\(P(Q \cap Córdoba)\)) con la probabilidad que vaya a votarlo si se sabe que vive en Córdoba (\(P(Q/Córdoba)\)).
\[P(Q \cap Cordoba) = \frac{200}{1530}\]
\[P(Q/Cordoba) = \frac{200}{650}\]
Si dividimos entre sí estas dos expresiones obtenemos:
\[\frac{P(Q \cap Cordoba)}{P(Q/Cordoba)} = \frac{\frac{200}{1530}}{\frac{200}{650}} = \frac{650}{1530}\]
El último cociente es la probabilidad marginal correspondiente a Córdoba, por lo que:
\[\frac{P(Q \cap Cordoba)}{P(Q/Cordoba)} = P(Cordoba)\]
Esta expresión, que es general, nos ofrece una relación muy útil entre las probabilidades condicional y conjunta. Una forma más frecuente de escribir esta relación, para dos eventos cualesquiera \(A\) y \(B\) es:
\[P(A \cap B) = P(B)*P(A/B)\]
Si escribimos la intersección en orden inverso36, tenemos:
\[P(B \cap A) = P(A)*P(B/A)\]
Como son iguales los primeros miembros de las dos expresiones anteriores, igualamos los segundos miembros, para obtener:
\[P(B)*P(A/B) = P(A)*P(B/A)\]
Esta igualdad relaciona las probabilidades condicionales en un orden o en el otro. Si se conocen las probabilidades de \(A\) y de \(B\), esa igualdad nos permite pasar de \(P(A/B)\) a \(P(B/A)\), veremos más adelante que se trata de un resultado muy útil.
7.2.2 Con probabilidades a priori
Veamos el uso de estas operaciones con probabilidades usando ahora un experimento en el que asignamos probabilidades a priori. Sea una caja que contiene 4 fichas rojas y 3 azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja en la primera extracción? Como \(\#Roja\) es 4 y \(\#\Omega\) es 7, la probabilidad vale \(4/7\). De mismo modo, la probabilidad de una azul es \(3/7\).
Hagamos ahora dos extracciones sucesivas de modo tal que no reponemos la primera ficha antes de sacar la segunda, este tipo de extracción se llama sin reposición. Saco la primera, veo su color y saco la segunda sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad que salga la segunda azul si la primera fue roja? En este caso, a la segunda extracción hay 3 azules sobre un total de 6 fichas (porque ya sacamos una), entonces \(\#Azul = 3\) y \(\#\Omega = 6\) y la probabilidad es \(P(A_{2}/R_{1}) = 3/6\) (ó \(1/2\)).
Otro caso: ¿Cuál es la probabilidad que la segunda sea azul si la primera fue azul? Ahora quedan 2 azules, porque ya sacamos una, sobre un total de 6 fichas, por lo que la probabilidad es \(P(A_{2}/A_{1}) = 2/6\) (ó \(1/3\)). Sucede entonces que la probabilidad de obtener una ficha azul a la segunda extracción depende de lo que haya resultado en la primera.
Otro problema: ¿cuál es la probabilidad de sacar dos rojas en dos extracciones sin reposición? Lo escribimos: \(P(R_{1}R_{2}) = P(R_{1}\cap R_{2})\)
Y aplicamos la relación que encontramos al final del apartado anterior: \[P(R_{1}\cap R_{2}) = P(R_{1})*P(R_{2}/R_{1})=4/7*3/6=2/7\]
Que es la probabilidad que salga roja la primera multiplicada por la probabilidad que salga roja la segunda condicionada a que ya haya salido roja la primera (es decir, con el espacio muestral restringido) .
Del mismo modo, la probabilidad de sacar dos azules es:
\[P(A_{1}\cap A_{2}) = P(A_{1})*P(A_{2}/A_{1})=3/7*2/6=1/7\]
Nuevamente, es la probabilidad de azul la primera por la probabilidad de azul la segunda condicionada a que ya haya salido azul la primera.
Ahora preguntamos por la probabilidad de obtener una azul y una roja, en cualquier orden. Esto equivale a pedir azul la primera y roja la segunda o bien roja la primera y azul la segunda, por lo que:
\[P((A_{1}\cap R_{2})\cup(R_{1}\cap A_{2}))=P(A_{1} \cap R_{2})+P(R_{1} \cap A_{2}) =\] \[P(A_{1})*P(R_{2}/A_{1})+P(R_{1})*P(A_{2}/R_{1})\]
Si cambiamos el experimento reponiendo ahora la primera ficha antes de extraer la segunda, llamamos al experimento extracción con reposición. De este modo se restaura el espacio muestral al estado inicial. La figura 7.3 muestra el efecto de la reposición o no de la primera ficha sobre el conjunto de resultados posibles de la segunda extracción. Si se repone, la probabilidad de la segunda extracción será la misma que la de la primera para cualquier evento. Por ejemplo, \(P(A_{2}/A_{1})\) es \(3/7\), como lo es también \(P(A_{2}/R_{1})\). Que la primera haya sido azul o roja no afecta la probabilidad de la segunda extracción, ya que se la repone: la segunda extracción no depende de la primera. En el caso de extracciones con reposición -en que la segunda extracción no se ve afectada por el resultado que haya dado la primera-, decimos que los eventos son independientes y resulta que, para dos eventos independientes \(A\) y \(B\):
\[P(A/B) = P(A)\]
Lo cual, dicho en lenguaje cotidiano nos indica que, para la ocurrencia del evento \(A\), no importa que haya sucedido o no el evento \(B\). Debido a esto, en nuestro ejemplo, la probabilidad de obtener dos rojas es:
\[P(R_{1} \cap R_{2})=P(R_{1})*P(R_{2})\]
Figura 7.3: Efectos de extraer una ficha sin reponerla o reponiéndola, sobre las condiciones que quedan para la segunda extracción.
Este concepto de independencia entre eventos en muy valioso para analizar uno de nuestros más importantes problemas: las relaciones entre variables. Veamos su aplicación a la tabla 7.4. Si la intención de voto fuera independiente de la ciudad donde se vive (quiere decir si votaran del mismo modo personas de las diferentes ciudades) la probabilidad de encontrar una persona que vote a R si vive en Córdoba sería simplemente la probabilidad de votar a R, es decir \(P(R/Cordoba)=P(R)\) y del mismo modo para los demás eventos. En nuestro ejemplo no se obtiene esa igualdad, ya que:
\(P(R/Cordoba)=300/650=0.46\), mientras que: \(P(R)=600/1530=0.39\)
Por lo que estos eventos no son independientes en sentido estadístico.
Cuando se trataron las relaciones entre variables, se discutió este problema, al calcular las frecuencias que se esperarían si las variables fueran independientes. Se concluyó que dos variables son independientes si la frecuencia relativa de cada celda resulta del producto de las frecuencias relativas marginales que le corresponden. En el lenguaje de las probabilidades, encontramos ahora el mismo resultado y lo expresamos diciendo que si los eventos A y B son independientes, entonces \[P(A\cap B)=P(A)*P(B)\]
7.3 El teorema de Bayes
La aplicación que presentamos en este último apartado usa probabilidades condicionales para deducir la probabilidad que tiene un evento observado de provenir de diferentes eventos previos. Por esta razón se denomina también “teorema de las causas”37. Nos interesa porque es un resultado que permite “aprender de la experiencia”, lo que quiere decir que da los medios para usar la información disponible para modificar las probabilidades de determinados eventos. Tiene mucho valor en Ciencias de la Salud, porque es frecuente conocer cuál es la probabilidad a priori que una persona que consulta tenga determinada patología (es la prevalencia de la enfermedad sobre la población general) pero, una vez que se dispone de indicadores clínicos, esa probabilidad cambia. De manera equivalente, si se conoce cuál es la probabilidad de terminar una carrera universitaria (la proporción de quienes egresan), esa probabilidad se ajusta a los casos particulares, una vez que se cuenta con información adicional, como el número de materias ya aprobadas.
De manera general: sean \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{k}\) eventos mutuamente excluyentes que completan el espacio muestral (es decir que la unión de todos esos eventos es \(\Omega\)), y un evento \(A\) puede suceder en intersección con cualquiera de ellos (es decir que \(A\) puede suceder en intersección con \(B_{1}\), o con \(B_{2}\), etc.), como muestra la figura 7.4:
Figura 7.4: Esquema de un evento A que puede suceder en intersección con varios eventos \(B_{i}\) independientes entre sí
Por ejemplo, los eventos \(B\) pueden ser los diferentes tipos de escuela secundaria de la que provienen estudiantes de una carrera universitaria y el evento \(A\) es “terminar la carrera”. Hay quienes terminan la carrera (quienes están dentro de la elipse) y quienes no lo hacen (dentro del rectángulo pero fuera de la elipse), y quienes pertenecen a ambos grupos pueden provenir de escuelas de cualquiera de los tipos \(B_{1}, B_{2}\) etc. La primera de las intersecciones (la grisada más oscura) representa a quienes cumplen simultáneamente \(A\) (haber terminado la carrera) y \(B_{1}\) (provenir de una escuela del tipo que ese grupo define).
Otro ejemplo es que los eventos \(B\) sean solo dos:
\(B_{1}\): tener una determinada enfermedad
\(B_{2}\): no tener esa enfermedad Como se ve en la figura 7.5
Figura 7.5: Solo dos eventos definen el espacio muestral
Si el evento \(A\) es “una prueba diagnóstica dio positiva”, aparecen intersecciones entre el resultado de la prueba y la condición de las personas a quienes se aplica (figura 7.6. La primera es la zona dentro del círculo a la izquierda: (\(A \cap B_{1}\)), son los casos correctamente diagnosticados. El área que queda fuera del círculo a la izquierda representa casos en los que la prueba no indicó la enfermedad aun cuando se trataba de personas enfermas, se llaman “falsos negativos”. A la derecha, la pequeña parte de círculo es (\(A \cap B_{2}\)) e indica los casos en que la prueba dio positiva cuando fue aplicada a personas que no tenían la enfermedad, se llaman “falsos positivos”. Por último, la parte blanca del rectángulo a la derecha son los casos en que dio correctamente negativa en personas que no tenían la enfermedad.
Figura 7.6: Intersecciones del evento A con \(B_1\) y \(B_2\)
Con esta notación y esa relación entre los eventos \(B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{k}\) y \(A\), el teorema de Bayes se expresa de la siguiente manera:
\[P(B_{j}/A) = \frac{P(B_{j})*P(A/B_{j})}{\sum_{i = 1}^{k}{P(B_{i})*P(A/B_{i})}}\]
El valor de este teorema es que permite pasar de la probabilidad simple de uno de los eventos \(B\) (en general, del que llamamos \(B_{j}\)), a la probabilidad “corregida”, que usa la información que aporta el evento \(A\). Si se conoce inicialmente la probabilidad del evento \(B_{j}\), el teorema permite calcular la probabilidad de \(B_{j}\), luego de haber agregado la condición \(A\).
Veamos un ejemplo sencillo: se dispone de dos frascos (\(F_1\) y \(F_2\)), el primero de ellos tiene 20 fichas azules y 10 rojas, el segundo contiene 20 azules y 20 rojas. Se elige un frasco al azar y luego se extrae de él una ficha, que resulta ser azul, nos preguntamos por la probabilidad que la ficha provenga del primer frasco. En ausencia de toda información, los dos frascos son igualmente probables, por lo que la probabilidad de cada uno es \(0.50\): \(P(F1)=0.50\) y \(P(F2)=0.50\). Si la ficha fue extraída del primer frasco, la probabilidad de que sea azul es: \(P(A/F1)=20/30=0.67\), mientras que si proviene del segundo frasco es \(P(A/F2)=20/40=0.50\). La pregunta es por \(P(F1/A)\), debemos invertir una probabilidad condicional, por lo que usaremos el teorema de Bayes:
\[P(F_{1}/A) = \frac{P(A/F_{1})*P(F_{1})}{P(A/F_{1})*P(F_{1}) + P(A/F_{2})*P(F_{2})}\]
Reemplazando, tenemos:
\[P(F_{1}/A) = \frac{0.67*0.50}{0.67*0.50 + 0.50*0.50} = \frac{0.33}{0.58} = 0.57\]
Este resultado dice que, con el dato que la ficha extraída es azul, corregimos la probabilidad de provenir del primer frasco, que a priori era de \(0.50\); a \(0.57\). En este sentido la fórmula de Bayes nos permite usar la información para corregir probabilidades a priori.
En el ejemplo sobre la enfermedad y su diagnóstico, se dispone inicialmente de la probabilidad que tiene una persona cualquiera de padecer la enfermedad, esa es \(P(B_{1})\), luego esa probabilidad cambia cuando se agrega el dato que dice que a la persona la prueba le dio positiva.
Veamos un ejemplo que presentó Cohen (1994) en un artículo crítico hacia los procedimientos tradicionales de análisis estadístico. La aplicación ilustra el aporte del teorema a las interpretaciones de los resultados que arrojan las pruebas diagnósticas.
La prevalencia de esquizofrenia en personas addultas es de aproximadamente el 2%, que indica que aproximadamente 2 de cada 100 personas en la población adulta general padece la enfermedad. Se dispone de un conjunto de pruebas diagnósticas del que se estima que tiene al menos un 95% de precisión al hacer diagnósticos positivos (sensibilidad) y aproximadamente 97% de precisión al declarar normalidad (especificidad).
Para expresar formalmente estos datos, tratamos por un lado, la situación real, la de padecer o no de esquizofrenia. Llamamos \(E\) al evento “la persona padece esquizofrenia” y \(noE\) al evento “la persona no padece esquizofrenia”. Por lo que, elegida una persona al azar, y en ausencia de cualquier otra información, su probabilidad de padecer esquizofrenia es \(P(E)=0.02\), la probabilidad que no la padezca es \(P(noE)=0.98\).
Por otro lado tenemos el resultado del conjunto de pruebas, que pueden dar positivas o negativas. La sensibilidad se escribe así: \(P(+/E)=0.95\), que quiere decir que, aplicada a personas esquizofrénicas, el 95% de las veces la prueba dará un resultado positivo, que conducirá al diagnóstico correcto de la enfermedad. El complemento de esa probabilidad, 5%, es la probabilidad de dar un resultado negativo ante un caso de alguien que sí padece esquizofrenia, se denomina resultado “falso negativo” y solo puede identificarse ante pruebas posteriores más sensibles o por el desarrollo de otros síntomas, que dan más elementos para realizar el diagnóstico. Escribimos entonces que \(P(-/E)=0.05\).
Ante personas que no son esquizofrénicas, la prueba da, en el 97% de los casos resultado negativo (correctamente), es decir: \(P(-/noE)=0.97\). Su complemento, del 3%, es la probabilidad de hallar un resultado positivo en alguien que no padece esquizofrenia38, se denomina “falso positivo” y su probabilidad se escribe: \(P(+/noE)=0.03\).
Dada una persona cuyas pruebas dan un resultado positivo, nos preguntamos por la probabilidad que efectivamente padezca esquizofrenia. Antes de conocer la respuesta al problema piénselo un momento por su cuenta y ofrezca un valor aproximado para esa probabilidad.
Este es un problema que requiere que se invierta una probabilidad condicional, ya que conocemos la probabilidad de obtener un resultado positivo si el individuo padece esquizofrenia \(P(+/E)\), y queremos saber la probabilidad de que padezca esuizofrenia dado que la prueba dio positiva, que es \(P(E/+)\).
En la aplicación del teorema de Bayes, el universo está compuesto por un 98% de personas no esquizofrénicas y un 2% de esquizofrénicas y la prueba puede dar positiva tratándose de alguien que padece la enfermedad (muy frecuentemente) o que no la padece (con poca probabilidad). Reemplazamos en la expresión del teorema de Bayes y tenemos:
\[P(E/+) = \frac{P(+/E)*P(E)}{P(+/E)*P(E) + P(+/noE)*P(noE)} =\] \[\frac{0.95*0.02}{0.95*0.02 + 0.03*0.98} = \frac{0.019}{0.019 + 0.029} = 0.396\]
Entonces, si a una persona estas pruebas le han dado resultado positivo, la probabilidad que efectivamente sea esquizofrénica es menos del 40%, que es mucho mayor que la prevalencia en la población general, del 2%, pero que no resulta concluyente para el diagnóstico, el cual debe completarse con otros procedimientos. Es posible que este resultado no esté cerca de la estimación intuitiva, y nos pone muy en alerta sobre la interpretación de pruebas de este tipo. El razonamiento intuitivo quizás nos habría llevado a creer que alguien a quien la prueba da positiva tiene muchas posibilidades de tener la enfermedad, pero no debemos confundir la probabilidad que la prueba de positiva si se tiene la enfermedad (\(P(+/E)\)) con la probabilidad de tener la enfermedad si la prueba da positiva (\(P(E/+)\)). Si una persona es esquizofrénica, la prueba le da positiva en el 95% de las veces; pero si da positiva, la probabilidad que sea esquizofrénica es menor al 40%.
Este resultado nos dice que los resultados de las pruebas aportan información sobre los casos que se observan, pero no permiten concluir de manera definitiva. Ante una persona de la que no se tiene ninguna información, la probabilidad que sea esquizofrénica es 0.02; cuando se agrega el dato que dice que el test dio positivo, la probabilidad que sea esquizofrénica asciende a 0.39.
En este ejemplo, la probabilidad de ser esquizofrénico para alguien que obtuvo resultado positivo en las pruebas es tan baja debido a la baja frecuencia de la esquizofrenia en la población general (prevalencia), pero demuestra lo equivocado que puede estarse si no se tienen en cuenta resultados falso positivo y falso negativo asociados a las pruebas diagnósticas.
Un abordaje alternativo a este problema es usando una tabla de contingencia. Suponiendo que aplicamos el conjunto de pruebas a un universo de un millón de personas y usando las probabilidades enunciadas antes:
| Positivo | Negativo | ||
|---|---|---|---|
| Esquizofrénicas | 19000 | 1000 | 20000 |
| No esquizofrénicas | 29400 | 950600 | 980000 |
| Total | 48400 | 951600 | 1000000 |
Queremos responder ¿cuál es la probabilidad que el sujeto sea esquizofrénico, si sabemos que la prueba le dio positiva? Para ello:
\[P(E/+) = \frac{19000}{48400} = 0.39\]
Que es el mismo resultado que obtuvimos aplicando el teorema de Bayes.
La ventaja de la presentación a través de una tabla de doble entrada es que permite distinguir dos conjuntos de eventos sobre los que tenemos diferente conocimiento:
Un estado de realidad, en las filas de la tabla, que es la condición de esquizofrénico o no esquizofrénico del sujeto. Este estado nos es desconocido.
La evidencia observable, en las columnas de la tabla, que está dada por el resultado de la prueba que aplicamos, que conocemos.
Como las pruebas no son perfectas, los resultados deben leerse en términos probabilísticos y no determinísticos.
Cuando ingresemos a inferencia estadística veremos que ésta es la situación más frecuente: que dispongamos de cierta evidencia y debemos usarla para tomar una decisión acerca de un estado de realidad al que no conocemos.
El de Bayes es un teorema de gran importancia, por las consecuencias que tiene para muchas pruebas diagnósticas que se usan a menudo. Lo que hemos encontrado también implica el cuidado con que deben leerse los resultados de pruebas de cualquier tipo: diagnósticos, dosaje de productos prohibidos en deportistas, pruebas genéticas, etc. Para una correcta interpretación de los resultados de esas pruebas se deben conocer cuáles son los errores de tipo “falso positivo” y “falso negativo” que las acompañan.
7.4 Variables aleatorias
Es necesario hacer más explícita una parte del vocabulario que hemos usado. Al tratar con eventos aleatorios (resultados de experimentos aleatorios), en algunos hemos usado una notación más textual, como “que la moneda salga cara” y en otros una más numérica, por ejemplo “\(S=4\)”. De aquí en adelante trabajaremos con la segunda notación que tiene muchas ventajas. La razón es que pasamos a tratar a los experimentos como observación de variables, cuyas categorías (o valores) son los resultados del experimento. En la tirada de la moneda, no es difícil cuantificar los eventos, podemos elegir cara como lado preferido y definir la variable X = “número de caras que se obtienen al lanzar una moneda equilibrada”, los valores posibles son 0 (si sale cruz) y 1 (si sale cara). En la suma de los puntos de los dos dados, S asume valores discretos del 2 al 12. La descripción como distribución de frecuencias que hacíamos antes, se transforma ahora en distribución de probabilidades y, para los dos ejemplos citados, toma la forma:
| X = número de caras | P(X) |
|---|---|
| 0 | 1/2 |
| 1 | 1/2 |
| Total | 1 |
| S = suma de puntos de dos dados | P(S) |
|---|---|
| 2 | 0.028 |
| 3 | 0.056 |
| 4 | 0.083 |
| 5 | 0.111 |
| 6 | 0.139 |
| 7 | 0.167 |
| 8 | 0.139 |
| 9 | 0.111 |
| 10 | 0.083 |
| 11 | 0.056 |
| 12 | 0.028 |
| Total | 1.000 |
Estas variables se denominan variables aleatorias, porque sus valores dependen del azar y serán muy necesarias en todo lo que sigue de la materia. El aspecto de estas tablas de distribución de probabilidades es en un todo equivalente al de las de distribución de frecuencias: el total igual a uno indica la probabilidad del espacio muestral (\(P(\Omega) = 1\)). Sobre ellas pueden hacerse operaciones similares a las descripciones de variables ya vistas.
Cuando la variable aleatoria puede asumir valores continuos, ya no es posible asignar probabilidades individualmente y debe hacerse a través de intervalos. Es el mismo problema que hallamos en las distribuciones de frecuencia, y lo resolvemos del mismo modo. Se usan probabilidades acumuladas, ya sea entre valores de la variable o desde ciertos valores hacia los mayores o desde ciertos valores hacia los menores39.
También es posible, sobre distribuciones de probabilidad, calcular algunas medidas descriptivas, veamos en qué se transforma la media. El procedimiento para calcularla que hemos visto consiste en multiplicar cada valor de la variable por su frecuencia y dividir por el total de casos; para las variables aleatorias eso se hace de una sola vez, multiplicando cada valor por la probabilidad y se obtiene:
\[E(x) = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}*{P(x}_{i})\]
Que se llama esperanza matemática, la indicaremos \(E(x)\). Aunque esta expresión proviene del cálculo de la media40, tiene una diferencia conceptual importante: la media es una medida resumen, por lo que describe hechos que han sido observados, puede decirse que hace referencia a algo que ya sucedió. Por el contrario la esperanza se refiere a eventos que pueden llegar a suceder, por eso tiene ese nombre, es la expectativa que tenemos sobre el devenir futuro de un experimento. Uno de los usos más difundidos de este concepto es la esperanza de vida, que mide el número promedio de años que viviría un conjunto de personas si a lo largo de toda su vida se mantuvieran las mismas tasas de mortalidad que en la actualidad (las tasas de mortalidad se usan para estimar las probabilidades de morir a cada edad). Un “promedio a futuro” es una descripción sobre algo que aún no sucedió, por eso se llama esperanza.
De manera análoga puede calcularse la varianza de una variable aleatoria, su fórmula es:
\[V(x)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E(x))^{2}*P(x_i)\]
Al referirse a una variable aleatoria, la interpretación de la varianza difiere levemente de aquella que se usó como medida descriptiva de la dispersión. Aquí indica el modo en que se alcanzará el valor de la esperanza. Una varianza grande indica un proceso aleatorio muy variable, con valores dispares que convergen lentamente al valor de la esperanza. Por el contrario, un valor pequeño de la varianza indica un proceso más estable en el que los valores difieren poco de un paso al siguiente y rápidamente se aproximan a la esperanza. Esto se observa en las figuras 7.1 y 7.2, en las oscilaciones alrededor del valor teórico de la probabilidad: \(0.50\), que pueden ser más amplias o más limitadas.
Un ejemplo común que ilustra el uso de estas medidas es el juego de la ruleta. En este juego, por cada ficha que se apuesta a un color se obtiene una de premio si sale ese color y, por cada ficha que se apuesta a un solo número, se obtienen 35 como premio. En ambos tipos de apuesta, la ganancia esperada41 vale \(-0.027\). Esto significa que, jugando indefinidamente, se espera perder (porque es negativa) \(0.027\) pesos por cada peso que se apueste, o \(27\) pesos por cada \(1000\) que se apueste; esa es la ganancia esperada de quien organiza el juego.
Sin embargo, las varianzas son diferentes; para las apuestas a color, vale poco menos de 1 y para la apuesta a número único es más de 34. Esto describe la dinámica del juego; mientras que con la primera modalidad se gana y se pierde a menudo, con la segunda forma de apostar, se pierde muchas veces y cuando se gana es grande la recompensa. De todos modos en ambos tipos de apuesta, el balance entre ganancias y pérdidas es negativo, como lo indica la esperanza.
References
La intersección de dos eventos es conmutativa: \(P(A \cap B)=P(B \cap A)\)↩︎
Fue enunciado por el Reverendo Thomas Bayes (1702-1761), matemático inglés, sus aportes a la probabilidad fueron publicados de manera póstuma.↩︎
Nuevamente en este caso, esto puede conocerse a posteriori, luego de otras pruebas o del seguimiento del sujeto.↩︎
Sin embargo hay algo importante que cambia; porque en lugar de sumar un número finito de valores discretos, cuando se trata de variables continuas se debe sumar una cantidad infinita de valores infinitesimales, ese cambio se refleja en que la operación de suma se transforma en otra operación que se llama integral. No disponemos de los elementos matemáticos suficientes para ir más allá de esta mención imprecisa del concepto, pero tampoco es necesario a los fines de este curso.↩︎
Puede deducirse esto a partir del cálculo de la media, si se reemplazan las frecuencias relativas por las probabilidades de cada valor de la variable, tenemos: \[\overline{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}*f_{i}}}{n} = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}*\frac{f_{i}}{n} = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}*f_{i}^{'} = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}*{P(x}_{i}) = E(x)\]↩︎
Para el caso de ruletas con un solo cero, existen algunas que tienen además del cero el doble cero, en esos casos la esperanza de pérdida es mayor.↩︎